تبلیغات
بگرد و پیدا كن - قضیه اساسی گالوا
به بگرد و پیدا كن خوش آمدید ...
قضیه اساسی گالوا
اگر توسیع گالوایی میدان باشد ، و میدانی باشد ، که ، آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
1 .

2 . اگر زیرگروه باشد ، آنگاه

3 . تناظر یک به یک بین زیر میدان های مانند که شامل میدان هستند و زیرگروه‌های وجود دارد.

4 .

5 . توسیع نرمال است ، اگر و فقط اگر

6 . اگر توسیع نرمال باشد ، آنگاه:

اثبات
1 . توسیع نرمال است و . بنابراین توسیع نرمال است.لذا :

2 . می‌دانیم که و همچنین طبق فرض . همچنین با توجه به اینکه خواهیم داشت . بنابراین :


لذا :

3 . فرض می‌کنیم دو زیر میدان شامل باشند. را از مجموعه زیرمیدان‌های که شامل هستند ، به مجموعه زیرگروه‌های که ، در نظر می‌گیریم و نشان می‌دهیم که یک تناظر یک به یک است:
را طوری در نظر می‌گیریم که برای هر ، زیر‌گروهی از را نسبت دهد. لذا :

بنابراین طبق 1 خواهیم داشت :

یعنی یک به یک است.
اما پوشا نیز هست. چرا که :

4 . توسیع نرمال است. لذا:

و همچنین توسیع نرمال است . لذا :

بنابراین:

5 . می‌دانیم توسیع نرمال است، اگر و فقط اگر :

همچنین توسیع نرمال است ، در نتیجه توسیع نرمال نیز می‌باشد.بنابراین توسیع نرمال است ، اگر و تنها اگر :


6 . اگر توسیع نرمال باشد ،آنگاه:

حال فرض می‌کنیم . آنگاه یک اتومورفیسم روی است. چون ، لذا .
حال تابع را با ضابطه زیر در نظر می‌گیریم:

یک همریختی است و :

بنابراین ، طبق قضیه اساسی همریختی :

این رابطه رامعرفی می‌کنیم و با توجه به آن خواهیم داشت:

از طرفی :

لذا با توجه به رابطه ، خواهیم داشت :

نتیجه:

با توجه به شرایط قضیه خواهیم داشت :



موضوع :  ریاضیات ، 

بر چسب ها :  گالوا ،  اواریست ،  اواریست گالوا ،  قضیه اساسی گالوا ،  galva ،  gaois ،  evariste ،  Evariste ،  Galois ،  Galva ،  GALVA ،  GALOIS ،  EVARISTE ،  evarist ،  EVARIST ،  Evarist galois ،  Evariste galois ،  EVARIST GALOIS ،  EVARISTE GALOIS ،  Evarist Galois ،  Evariste Galois ، 

این مطلب توسط mat mirbagheri  روز سه شنبه 7 دی 1389 در ساعت 01:17 ب.ظ نوشته شد | نظرات()